「2^77,232,917 – 1」,一個長達 719 頁的超級質數

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開售不到一個月,如今已在日本 Amazon 賣到斷貨。 圖片來源:虹色社 Facebook

 奇書年年有,今年特別厚。旗下有著不少經典文學作品的日本虹色社(なないろしゃ),上月隆重呈獻一本離奇暢銷書,名為「2017 年最大的質數(2017 年最大の素数)」,厚達 719 頁,並且超過 2,300 萬字 —— 數字。全書內容只有一組數字:剛剛被發現的第 50 個梅森質數(Mersenne Prime)。

此書的首刷出版日,距離與此數字的誕生之日甚至只隔了兩個星期。非教材向的數學類書籍素來是滯銷毒藥,然而,此書開售不到一個月,如今已在日本 Amazon 賣到斷貨,需要加印應市,蔚為出版界一大美談。

「2017 年最大的質數」書影。 圖片來源:Amazon

當然,梅森質數的最大數值再度刷新,於全球數學界也是重要發現。Mn = 2^n – 1 是著名的梅森數(Mersenne numbers)算式,並以 17 世紀提出此數列的法國數學家馬蘭梅森(Marin Mersenne)為名。在無限量的梅森數列之中,質數的出現機率極低,時至今日,人類只是「掘」出 50 個。而且 n 值愈大,Mn 是質數的機率就愈低。譬如 n 值在 100,000 以內的梅森質數就有 28 個,而 100,000 1,000,000 之間,梅森質數卻只有 5 個。

梅森質數之所以受到數學家重視,除了數量極少、尚未有人發現其出現規律,亦因為它是質數中的質數。梅森質數意味著其 n 值必須是質數,如 n 並非質數,該 n 值的 Mn 也不會是質數。但同時,n 值是質數,Mn 並不一定是質數。譬如,n = 7Mn 2^7 – 1 127(第 4 個梅森數),然而,n = 11Mn 2^11 – 1 = 20472047 卻可以被 23 89 整除,因此就不是梅森質數了,而 11 也是第一個當 n 為質數而 Mn 並非質數的例子。

有如奇蹟般萬中無一(實際上是天文數字中無一)的梅森質數,自古以來就延伸出一個數學猜想,儘管數量少到不能再少,但梅森質數到底會無窮無盡地出現,還是會有一個終值?若當真存在一個數學上的最大質數,它又會有多大?馬蘭梅森生前好友費馬(Pierre de Fermat)的最終猜想在幾百年後畢竟還是得以證實,但有關梅森質數的猜想則至今仍在探索。

最初梅森質數可由傳統的試除法或進階的盧卡斯數列(Lucas sequence)來判定,但位數超過 100 的超級質數,便需要電腦運算。而自從 1996 年由工程師 George Woltman 發起,集結了數學愛好者的 Gimps(全名為 Great Internet Mersenne Prime Search,網際網路梅森質數大搜索)開始進行「大搜索」,成果相當顯著,幾乎每隔一年半載,梅森質數的最大數值就會刷新,而位數值已經由 90 年代的 40 萬一直攀升到 2,300 萬以上。

剛誕生的第 50 個梅森質數,n 值為 77,232,917,即是 M77,232,917,是一個長達 23,249,425 位數的超級質數,其位數「稍大」於第 49 個梅森質數 M74,207,281(但不排除兩個質數之間尚有未發現的梅森質數)。對上一個梅森質數是由梅森數達人 Curtis Cooper 2015 2016 年間發現,而 Curtis Cooper 也是近年最常發現新梅森質數的美國數學家,從 2005 年至 2016 年總共刷新了 4 次紀錄。不過,新梅森質數的發現者,卻是一名男住在田納西州小城鎮的中年工程師。

當全世界的人都沉迷於掘比特幣,卻有一少撮人仍然專心地掘質數,包括正職是快遞公司財務經理的 Jon Pace。據指,Jon Pace 加入 Gimps 的「搜索隊」已經 14 年,尋找新的梅森質數是多年來的心願,但他並沒有為此添置任何超級電腦,M77,232,917 的出現,意外地來自一台普通的家用電腦,Gimps 的聲明稿中還特意提到,其 CPU 等級只是一般水平的四核心 Intel i5-6600。然而,別人慶祝聖誕佳節,Jon Pace 卻在去年 12 26 日透過家中的電腦得到驚人收穫。

「2017 年最大的質數」把字體尺寸壓縮到不能再小,才能「僅厚」719 頁。 圖片來源:虹色社 Facebook

要完整地將位數超過 2,300 萬的 M77,232,917 寫出來,即是超過 2,300 萬字元,由日本虹色社出版的「2017 年最大的質數」,其實已經把字體尺寸壓縮到不能再小,才能「僅厚」719 頁(每頁 400 字的原稿,則超過 58,000 頁)。據 Gimps 形容,以正常格式將 M77,232,917 列印出來,起碼需要 9,000 頁,而這個質數的「總長度」是 118 公里,即使能每秒寫 5 個數字,也需要毫不間斷的 54 天時間才能寫完。

對書商來說,這個天文數字無疑帶來了意外驚喜,虹色社的營業部負責人山口和男表示,從沒想過此書可以售罄。「2017 年最大的質數」不但成為數學界熱話,也儼然是一則出版界的奇聞,不過,這驚人發現替主人公 Jon Pace 帶來的收益卻相對微薄,Gimps 的酬金只有 3,000 美元。原因是位數值仍未夠大,事實上,Gimps 正懸紅 15 萬美元,尋找首個超過一億位數的超級質數。

但當然,對 Jon Pace 來說,最大意義還是他寒窗苦等 14 年,終於得以名留數學史。